A produção anual de algodão (em toneladas) de um agricultor é a função da quantidade x de fertilizante empregada (em toneladas), conhecida pela função P = 100 + 200x – x2 . As produtividades marginais do fertilizante ao utilizar 50 e 75 toneladas serão, respectivamente:
- A)30 e 10.
Errada, porque a derivada da função em x = 50 e x = 75 não resulta em 30 e 10.
- B)40 e 10.
Errada, pois os valores corretos da produtividade marginal nesses pontos não são 40 e 10.
- C)50 e 30.
Errada, já que a produtividade marginal não é 50 em x = 50 nem 30 em x = 75.
- D)100 e 35.
Errada, porque os valores calculados pela derivada da função são diferentes de 100 e 35.
- E)100 e 50.
Certa, pois P'(x) = 200 - 2x, então P'(50) = 100 e P'(75) = 50.
Gabarito: E
Aqui a ideia é bem direta: produtividade marginal é o quanto a produção aumenta quando você acrescenta uma unidade do insumo. Em termos de cálculo, isso é a derivada da função de उत्पादन em relação a x. Então, se P = 100 + 200x - x², a produtividade marginal é P'(x) = 200 - 2x. Agora é só substituir os valores pedidos. Para x = 50, temos P'(50) = 200 - 100 = 100. Para x = 75, temos P'(75) = 200 - 150 = 50. Ou seja, as produtividades marginais são 100 e 50, nessa ordem. A lógica econômica por trás disso é simples: no começo, mais fertilizante aumenta bastante a produção, mas depois esse ganho vai diminuindo. Isso aparece no termo -x², que faz a produtividade marginal cair conforme o uso de fertilizante cresce. É o famoso efeito dos rendimentos marginais decrescentes, bem querido em Microeconomia. Por isso, o gabarito E está correto. A banca cobra exatamente esse passo padrão: derivar a função de produção e avaliar nos pontos pedidos, sem complicar mais do que o necessário.