A função de custo de certa empresa produtora de soja no Brasil é dada por C(x,Y) = x + y, em que x é o consumo de sementes e y é o consumo de tratores, sendo a função de produção de soja da empresa dada por 2 = x1/2 . y1/2 Com base nessa situação hipotética e considerando que a teoria da firma se baseia na suposição de que as empresas escolhem para os seus processos produtivos os insumos capazes de minimizar o custo de produção, assinale a opção em que é apresentado corretamente o custo mínimo de produção para a referida empresa.
- A)1
Errada, porque custo 1 não permite alcançar a produção exigida pela restrição tecnológica.
- B)2
Errada, porque custo 2 ainda é insuficiente para satisfazer xy = 4 com essa função de produção.
- C)3
Errada, porque 3 é menor que o custo mínimo necessário para produzir 2 unidades.
- D)4
Certa, pois a minimização com xy = 4 ocorre em x = y = 2, resultando em custo total 4.
- E)10
Errada, porque 10 é um custo maior do que o necessário e não é mínimo.
Gabarito: D
Quando a firma quer produzir uma quantidade dada, ela escolhe a combinação de insumos que entrega esse nível de produção pelo menor custo. Aqui, o custo é C(x,y) = x + y, então a empresa quer gastar o menos possível com sementes e tratores. A restrição de produção é 2 = x^{1/2}y^{1/2}, isto é, xy = 4. Em problemas assim, a ideia central é achar a combinação que, mantendo a produção fixa, minimiza a soma dos insumos. Como a produção depende do produto x*y, para produzir 2 unidades basta ter xy = 4. Entre todas as combinações cujo produto é 4, a soma x + y fica menor quando os dois insumos são iguais. Então x = 2 e y = 2. Assim, o custo mínimo é C = 2 + 2 = 4. Esse é um resultado clássico de minimização de custo na teoria da firma: com tecnologia Cobb-Douglas e preços dos insumos iguais, a firma escolhe a combinação que equilibra os fatores. Não é mágica, é a velha regra de não pagar mais caro por um insumo sem necessidade. Por isso, o gabarito D está correto: o custo mínimo de produção é 4.