A ideia de que a massa específica do ar é proporcional à pressão atmosférica prevê que a pressão diminui exponencialmente com a altitude. Nessas condições, a altitude na qual a pressão atmosférica é a metade de seu valor no nível do mar é de, aproximadamente, (Pressão atmosférica ao nível do mar: 1 atm ≈ 105 N/m2 . Massa específica do ar à pressão atmosférica = 1,3 kg/m3 , g = 10 m/s2 e ln 2 ≈ 0,69)
- A)3,3 km.
Errada, porque 3,3 km fica abaixo do valor obtido ao aplicar corretamente a relação exponencial entre pressão e altitude.
- B)4,3 km.
Errada, pois 4,3 km ainda não corresponde ao ponto em que a pressão cai exatamente para metade com os dados fornecidos.
- C)5,3 km.
Certa, porque a aplicação de P = P0 e^(-rho0 g h/P0) com P/P0 = 1/2 leva a aproximadamente 5,3 km.
- D)6,3 km.
Errada, já que 6,3 km superestima a altitude correspondente à metade da pressão ao nível do mar.
- E)7,3 km.
Errada, porque 7,3 km é um valor ainda mais alto e não bate com o cálculo logarítmico pedido no enunciado.
Gabarito: C
Quando o enunciado diz que a massa específica do ar é proporcional à pressão, ele está usando uma ideia simples de atmosfera em equilíbrio hidrostático. Nesse modelo, a pressão cai com a altitude de forma exponencial, porque cada “camada” de ar sustenta o peso da camada que está acima dela. Parece poesia, mas é física pura. A relação vem de dP/dh = -rho g. Como rho é proporcional a P, escreve-se rho = (rho0/P0)P. Substituindo, fica dP/P = -(rho0 g/P0) dh. Integrando, resulta P = P0 e^(-rho0 g h/P0). Ou seja, a pressão decai exponencialmente com a altura. Para achar a altitude em que a pressão vale metade da pressão ao nível do mar, fazemos P/P0 = 1/2. Então 1/2 = e^(-rho0 g h/P0), logo ln 2 = rho0 g h/P0. Substituindo os dados: h = (P0/(rho0 g)) ln 2 = (10^5/(1,3 x 10)) x 0,69. Isso dá aproximadamente 5,3 x 10^3 m, isto é, 5,3 km. Portanto, o gabarito é a alternativa C. É um caso clássico de usar lei exponencial com logaritmo natural, bem no estilo FGV: pouca firula, conta limpa e cuidado com as unidades.