Considere a função f(t) = e—(t-2)u(t-2) em que u(t) representa a função degrau unitário no instante t. Assinale a opção que contém a sua transformada de Laplace, representada por F(s).
- A)F(s) = e2s/(s-1)
Errada: o fator e^{2s} indicaria adiantamento no tempo, e o denominador s-1 corresponde a e^{t}, não a e^{-t}.
- B)F(s) = -2e-s/(s-2)
Errada: além de trazer sinal e expoente incompatíveis com o atraso, o denominador s-2 não corresponde à exponencial dada.
- C)F(s) = e-2s/(s-1)
Errada: o deslocamento até aparece no fator e^{-2s}, mas o termo e^{-(t-2)} leva a 1/(s+1), não 1/(s-1).
- D)F(s) = e2s/(s+1)
Errada: o sinal do expoente está invertido no denominador, e o fator temporal também não condiz com o degrau em t=2.
- E)F(s) = e-2s/(s+1)
Certa: pela propriedade do atraso no tempo, L{e^{-(t-2)}u(t-2)} = e^{-2s}L{e^{-t}} = e^{-2s}/(s+1).
Gabarito: E
Aqui o truque é reconhecer uma função deslocada no tempo. A expressão f(t) = e^{-(t-2)}u(t-2) só “liga” a partir de t = 2, porque o degrau unitário u(t-2) corta tudo antes disso. Em problemas assim, a Transformada de Laplace adora o teorema do atraso no tempo: se você tem g(t-a)u(t-a), então L{g(t-a)u(t-a)} = e^{-as}G(s). No seu caso, a função-base é g(t) = e^{-t}, cuja transformada é G(s) = 1/(s+1). Como há atraso de 2 unidades, entra o fator e^{-2s}. Então fica F(s) = e^{-2s}/(s+1). Ou seja, a banca quer que você combine duas ideias simples: exponencial decrescente vira 1/(s+1), e o degrau deslocado gera o fator e^{-2s}. Nada de mistério, só a Laplace fazendo seu teatro habitual. Portanto, a alternativa correta é a E.