A partir do teorema da derivação da Transformada de Laplace, assinale a alternativa com a solução da seguinte equação diferencial ordinária linear: dy(t)/dt + 4y(t) = 3e −t , y(0) = 1
- A)y(t) = e−t
Correta, pois y(t)=e^{-t} satisfaz y'(t)+4y(t)=3e^{-t} e também atende a condição inicial y(0)=1.
- B)y(t) = et
Errada, porque y(t)=e^{t} cresce e não satisfaz a equação nem a condição inicial.
- C)y(t) = e−4t
Errada, pois y(t)=e^{-4t} não produz o termo forçante 3e^{-t} ao substituir na EDO.
- D)y(t) = e4t
Errada, porque y(t)=e^{4t} explode rapidamente e não atende à dinâmica imposta pela equação.
- E)y(t) = e−0,5t
Errada, pois y(t)=e^{-0,5t} não resolve a equação diferencial dada nem respeita o termo do lado direito.
Gabarito: A
Nesta questão, a ideia é usar a Transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. O teorema da derivação diz que L{y'(t)} = sY(s) - y(0), então a derivada deixa de ser um bicho-papão e vira uma conta com Y(s). Aplicando isso em y'(t) + 4y(t) = 3e^{-t}, com y(0)=1, fica sY(s) - 1 + 4Y(s) = 3/(s+1). Daí, isolando Y(s), obtemos Y(s) = 1/(s+1), que ao voltar para o tempo fornece y(t)=e^{-t}. O gabarito A está correto porque essa função satisfaz a equação e a condição inicial, exatamente como o método exige.