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Resposta correta: D

Quando o enunciado diz que a produção de ovos cai linearmente, voce deve pensar em progressao aritmetica (PA): a cada semana, a quantidade diminui sempre pela mesma diferenca. Aqui, a primeira semana tem media de 1 ovo por dia, isto e, 7 ovos na semana. Depois, ao longo de 52 semanas, essa producao vai caindo de forma constante. Em uma PA, a soma dos termos e dada por S = n(a1 + an)/2. O problema informa que o total em 52 semanas foi 286 ovos, entao podemos montar: 286 = 52(7 + an)/2. Simplificando, fica 286 = 26(7 + an), logo 7 + an = 11. Daí, an = 4. Ou seja, na ultima semana, a galinha produz em media 4 ovos. Esse tipo de questao e classico de CESPE/CEBRASPE: transformar o texto em PA e usar a formula da soma, sem inventar moda. O gabarito D esta correto porque a ultima semana corresponde exatamente a 4 ovos.

Resposta correta: C

Aqui o ponto central é combinatória: o autor tem 16 contos diferentes e vai selecionar 12 para o livro. Como ele não quer distinguir a ordem da escolha, mas apenas quais contos entram, usamos combinação, e não permutação. Em problemas assim, a ordem só importa depois, quando os contos já estiverem escolhidos e organizados em ordem alfabética, mas essa organização não muda a contagem das escolhas possíveis. A conta é: C(16,12) = 16! / (12! 4!) , porque escolher 12 contos é o mesmo que deixar 4 de fora. Pela simetria das combinações, também poderia ser escrito como C(16,4), que dá o mesmo valor. Fazendo a conta, temos 16! / (12! 4!) = 16 x 15 x 14 x 13 / (4 x 3 x 2 x 1) = 1820. Então o gabarito C está correto porque existem 1.820 formas diferentes de escolher quais 12 contos entrarão na submissão. A banca adora testar se você confunde escolha com ordem, então vale a regra de ouro: se é só selecionar, pense em combinação.

Resposta correta: C

Aqui a ideia central é bem simples: duas funções estão descrevendo a mesma realidade, mas por lados diferentes. A quantidade que a fábrica pode fornecer cresce de forma linear, porque ela já começa com 40 mil unidades em estoque e acrescenta 10 mil por mês: q(x) = 10x + 40. Já a necessidade cresce de forma quadrática, porque foi modelada por n(x) = 5x^2. Quando a necessidade iguala a oferta, basta igualar as expressões. Fazendo isso, temos 5x^2 = 10x + 40. Passando tudo para um lado: 5x^2 - 10x - 40 = 0. Dividindo por 5, fica x^2 - 2x - 8 = 0. Agora é fatoração clássica de prova: (x - 4)(x + 2) = 0. As soluções são x = 4 e x = -2. Como o problema fala de meses decorridos desde o dia D, tempo negativo não faz sentido aqui. Então sobra x = 4. É por isso que o gabarito é a alternativa C. Perceba o macete: em questões de função, a banca gosta de testar se você sabe montar a igualdade entre as duas expressões e depois escolher a solução compatível com o contexto. Matemática adora uma conta, mas adora ainda mais uma interpretação bem lida.

Resposta correta: D

Quando a questão fala em função implícita, a ideia é olhar para a equação e perguntar: para cada valor de x, existe um único valor de y? Se existir e puder ser escrito como y = f(x), então temos uma função. Aqui, a alternativa D dá uma equação que isola y sem ambiguidade: |x| - y = 1, logo y = |x| - 1. Isso define um único y para cada x real. Por exemplo, se x = 2, então y = 1; se x = -3, então y = 2. Repare que o valor absoluto está em x, não em y, então não aparece aquela confusão de dois valores para a mesma entrada. É uma função bem comportada, sem drama. Já nas outras alternativas, a relação não gera uma função R -> R de forma adequada: ou aparece y com valor absoluto, o que costuma dar duas possibilidades, ou surge divisão por x, que traz problema quando x = 0. Em prova CESPE, o ponto-chave é esse: função precisa dar um único y para cada x. Portanto, o gabarito é a letra D porque a expressão pode ser rearranjada diretamente para y = |x| - 1, que é uma função real de variável real.

Resposta correta: E

Em polinômios com coeficientes reais, existe uma regra clássica: se uma raiz complexa não real aparece, a sua conjugada também aparece. Em outras palavras, raízes não reais vêm em pares conjugados. Isso é consequência do fato de os coeficientes serem reais, algo muito cobrado em concurso e que costuma derrubar quem lê rápido. Então, se um polinômio tem coeficientes reais, ele até pode ter várias raízes reais e também raízes complexas. O problema é ter apenas uma raiz complexa com parte imaginária não nula. Isso não fecha, porque essa raiz obrigatoriamente exigiria a presença da conjugada, gerando pelo menos duas raízes complexas não reais. Por isso, a afirmação está errada. Não existe polinômio real com exatamente uma raiz complexa não real e as demais reais. Esse é um caso direto do teorema das raízes conjugadas, um resultado básico da álgebra dos números complexos. Em resumo: coeficientes reais pedem equilíbrio nas raízes complexas. A banca adora transformar esse detalhe em pegadinha de enunciado.

Resposta correta: C

Quando um problema mistura partes de um total, a ideia é transformar o texto em uma equacao simples. Aqui, chame de I a receita da industria, A a da agropecuaria e S a dos servicos. O enunciado diz que I + A + S = 28 e que I + A < 11, enquanto S + A < 20. Da primeira informacao, se I + A é menor que 11, entao S precisa ser maior que 28 - 11 = 17, porque a soma total tem que fechar 28. Em linguagem de desigualdade: S = 28 - (I + A) e, como (I + A) < 11, sobra para S mais de 17. Nao e so 17, e acima de 17. A segunda desigualdade (S + A < 20) nao e nem precisa para concluir isso, ela e um dado extra que a banca colocou para testar se voce sabe enxergar o que realmente importa. Esse tipo de questao e puro algebrismo de concurso: monte a conta, isole a variavel e pronto. Por isso, a afirmacao de que a receita dos servicos foi superior a 17 bilhoes esta correta. O raciocinio e totalmente coerente com as desigualdades dadas no enunciado.

Resposta correta: E

A ideia de estatística suficiente é simples: ela deve concentrar toda a informação da amostra sobre o parâmetro desconhecido. Se você conhecer essa estatística, não perde nada relevante para inferir o parâmetro. Em linguagem de prova, é o velho truque da fatoração da verossimilhança. Aqui, a função de distribuição acumulada é F(x)=1-(β/x)^2 para x>=β. Derivando, a densidade fica f(x)=2β^2/x^3, para x>=β. Então, para uma amostra aleatória simples, a verossimilhança é proporcional a β^(2n) vezes o produto dos x_i^-3, com a restrição de que β seja menor ou igual ao menor valor observado. Repare no detalhe importante: a dependência em relação a β entra pelo termo β^(2n) e, principalmente, pelo menor valor da amostra, não pela média amostral. Ou seja, o que carrega a informação sobre β é o mínimo da amostra, não a média. A média até pode ser usada como estimador em outros contextos, mas aqui ela não é suficiente. Por isso, o item está errado. Pela fatoração de Neyman-Fisher, a estatística suficiente para β é ligada ao mínimo amostral, e não à média amostral. Em concurso, quando a distribuição tem suporte dependente do parâmetro, desconfie: a banca adora testar exatamente esse tipo de armadilha.

Resposta correta: E

Aqui a ideia é procurar o ponto da circunferência que fica mais perto da reta. Para isso, você não escolhe no olho: você usa a distância de um ponto à reta. A reta r: y = x + 4 pode ser escrita como x - y + 4 = 0, então a distância de um ponto (x,y) até ela é proporcional a |x - y + 4|. Como o ponto está na circunferência x² + y² = 4, ele pertence ao círculo de raio 2 centrado na origem. Então precisamos ver, entre todos os pontos desse círculo, qual torna x - y o menor possível, porque isso reduz a distância até a reta. O valor mínimo de x - y na circunferência é -2√2, alcançado em (-√2, √2). Se você testar o ponto P(-2,0), verá que ele está na circunferência, mas não é o mais próximo da reta. Isso acontece porque estar na circunferência não basta: o ponto mais próximo depende da direção perpendicular à reta, e não de um ponto qualquer da borda. O item, portanto, está errado. Como raciocínio clássico de geometria analítica, o ponto da circunferência mais próximo de uma reta vem da comparação entre a direção da normal da reta e o raio do círculo. Em questões do CESPE/CEBRASPE, esse tipo de troca entre 'ponto da circunferência' e 'ponto mais conveniente' é uma pegadinha bem comum.

Resposta correta: E

Quando a questão diz que -2 é raiz de um polinômio, isso significa que, ao substituir x por -2, o resultado deve ser zero. Aqui, o polinômio é p(x) = 2x^3 - a^3x - 38, então basta fazer a conta com calma, sem pressa de prova de 5 minutos. Substituindo x = -2, temos: p(-2) = 2(-2)^3 - a^3(-2) - 38. Como (-2)^3 = -8, fica p(-2) = 2(-8) + 2a^3 - 38, ou seja, -16 + 2a^3 - 38. Agora vem o ponto-chave: raiz significa p(-2) = 0. Então -16 + 2a^3 - 38 = 0, o que dá 2a^3 - 54 = 0. Logo, 2a^3 = 54 e a^3 = 27. Como 27 = 3^3, concluímos que a = 3. Então o gabarito é a alternativa E. O truque aqui é não se perder nos sinais e lembrar que, em polinômio, raiz é só valor que zera a expressão.

Resposta correta: C

Em didática da matemática, situações-problema são ótimas quando fazem sentido para o aluno. A ideia não é só “fazer conta”, mas provocar raciocínio, levantamento de estratégias e discussão de caminhos possíveis. Quando o problema conversa com o cotidiano, com algo que o estudante reconhece na prática, a aprendizagem tende a ficar mais significativa porque ele consegue ligar o conteúdo novo a experiências já conhecidas. Por isso, a afirmação está correta: recomenda-se trabalhar com atividades relacionadas ao cotidiano dos estudantes, pois isso aumenta o engajamento e ajuda a dar significado ao conhecimento matemático. Na linha das orientações dos PCN e também da BNCC, a matemática deve ser ensinada de modo contextualizado, articulando resolução de problemas, comunicação e uso de diferentes situações para desenvolver competências. Mas atenção: isso não quer dizer que toda situação-problema precise ser “do dia a dia” de forma literal. O ponto central é a pertinência pedagógica, isto é, fazer o aluno pensar, interpretar e mobilizar conceitos matemáticos com sentido. Em resumo, quando o problema parece mais com a vida real e menos com uma prova de sofrimento, a aprendizagem costuma render bem melhor. Então, o gabarito ser C faz todo sentido: aproximar a matemática do cotidiano favorece a compreensão, a participação e a aprendizagem significativa dos estudantes.