Estatística básica: questões

Resposta correta: B

O Método dos Mínimos Quadrados Ordinário (MQO) é a base da regressão linear: ele escolhe os coeficientes da reta que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos, isto é, das diferenças entre o valor observado e o valor ajustado pelo modelo. Em termos simples, o modelo tenta “errar o menos possível” no conjunto da amostra, e por isso a afirmativa I está correta. Também é importante separar duas ideias que muita gente mistura: erro aleatório (ε) e resíduo (e). O erro aleatório é o termo teórico do modelo populacional, aquilo que não observamos diretamente; já o resíduo é o que sobra depois de ajustar o modelo aos dados da amostra. A afirmativa III está correta exatamente por fazer essa distinção. A afirmativa II está errada porque resíduos não são, em regra, dependentes do valor da variável preditora de forma direta como a frase sugere. Em um modelo bem ajustado, espera-se que os resíduos se comportem como ruído, sem padrão sistemático em relação a X. Já a IV também está errada, porque, no MQO com intercepto, a soma dos resíduos é nula, isto é, ∑e_i = 0, não diferente de zero. Assim, sobram verdadeiras apenas I e III, que correspondem ao gabarito B. É aquela questão clássica de prova: se você sabe a diferença entre resíduo, erro e a propriedade da soma dos resíduos, mata a questão sem sofrer.

Resposta correta: E

Quando voce usa uma equacao de regressao, a ideia e prever um valor com base no comportamento observado nos dados. Mas essa previsao nao pode ser feita no modo “achismo com formula”: a reta precisa representar bem os dados, o que voce verifica no grafico de dispersao e na forca da associacao entre as variaveis. Se a reta nao se ajusta razoavelmente aos pontos, a previsao fica fraca e a afirmacao I cai por terra. Outro cuidado importante: o coeficiente de correlacao linear r nao basta sozinho para autorizar previsoes, porque ele mede apenas a forca e a direcao da relacao linear. Mesmo com r alto, voce ainda precisa observar se a regressao faz sentido no conjunto de dados e se nao esta extrapolando demais. Por isso, a afirmacao II esta correta ao exigir correlação linear entre as variaveis para usar a reta de regressao. A afirmacao III tambem esta correta, porque previsoes sao mais seguras dentro da faixa dos dados observados. Quando voce vai muito alem do alcance amostral, entra na extrapolacao, que e famosa por produzir previsoes bonitas no papel e ruins na vida real. Em prova, isso costuma ser cobrado como um principio basico de regressao: nao extrapole sem muito cuidado. Assim, o gabarito E esta certo porque apenas II e III trazem cuidados adequados para previsao por regressao. A banca quer que voce perceba que regressao nao e “apertar um botao”: precisa de relacionamento linear util e de respeito ao dominio dos dados observados.

Resposta correta: E

Quando voce estima o parametro p de uma Bernoulli, normalmente olha para a proporcao amostral de sucessos, isto e, a media dos valores 0 e 1 da amostra. Em linguagem simples: somou os sucessos, dividiu pelo tamanho da amostra, pronto. Esse estimador aparece o tempo todo porque ele concentra exatamente a informacao que interessa sobre p. A afirmativa I esta correta porque, para uma amostra aleatoria simples de variaveis Bernoulli, a proporcao amostral e o estimador de maxima verossimilhanca de p. A conta da verossimilhanca leva diretamente a  p = X̄, ou seja, a proporcao de sucessos observada. A afirmativa II tambem esta correta porque esse estimador e nao tendencioso: o valor esperado da proporcao amostral e p. Em outras palavras, se voce repetisse a amostragem muitas vezes, em media acertaria o parametro, sem puxar para cima ou para baixo. E isso e um classico de prova. A afirmativa III tambem esta correta porque, na familia Bernoulli/binomial, a soma dos sucessos (ou, equivalentemente, a proporcao amostral) e estatistica suficiente para p. Intuitivamente, depois que voce sabe quantos sucessos ocorreram, o resto da amostra nao acrescenta informacao para estimar p. Por isso o gabarito e E: as tres afirmativas estao certas.

Resposta correta: D

Quando a cidade tem táxis numerados de 1 a n e você observa uma amostra aleatória simples desses números, o modelo clássico é o de uma distribuição discreta uniforme em {1, 2, ..., n}. Nesse caso, a lógica da máxima verossimilhança é bem intuitiva: quanto menor for n, mais difícil fica explicar a presença de um número alto na amostra. Então o valor de n não pode ser menor que o maior número observado. A função de verossimilhança cresce quando n é pelo menos o maior valor da amostra e, entre esses valores possíveis, o estimador de máxima verossimilhança escolhe o menor n que ainda torne a amostra possível. Em outras palavras: o MLE de n, aqui, é o maior número observado na amostra. Na lista dada, o maior valor é 305. Portanto, a estimativa de máxima verossimilhança de n é 305. É aquele tipo de questão em que a estatística pede um pouco de formalismo, mas a resposta aparece na sua cara desde o primeiro olhar: se existe táxi 305, então n não pode ser 304 nem menos. Esse raciocínio é o padrão de problemas de MLE para variáveis discretas uniformes em {1, ..., n}, muito comum em provas de Estatística da FGV.

Resposta correta: D

Quando um fenômeno ocorre segundo um processo de Poisson, a ideia central é esta: os eventos aparecem ao acaso, com taxa média constante, e de forma independente ao longo do tempo. Nesse cenário, não só conseguimos modelar quantos eventos acontecem em um intervalo, como também o tempo até o próximo evento. E aqui mora o ponto da questão: o tempo de espera entre um evento e outro, em um processo de Poisson, tem distribuição exponencial. Se a taxa média é de 2 carros por minuto, então o parâmetro da exponencial é λ = 2. Isso significa que, em média, a espera é curta, porque os carros passam com frequência alta. A exponencial é justamente a distribuição clássica do tempo entre chegadas em um processo de Poisson, com a propriedade de "falta de memória": o que você já esperou não muda o que ainda falta esperar. Por isso, o gabarito é a letra D. A relação entre processo de Poisson e distribuição exponencial é um resultado padrão de teoria de probabilidades, muito cobrado em Estatística básica e em concursos: contagem de eventos no Poisson, tempo entre eventos na exponencial. Então, se o enunciado fala em "tempo de espera até o próximo carro" após um carro ter passado, pense imediatamente em exponencial. É aquela dupla famosa: Poisson conta chegadas, exponencial mede o intervalo entre elas.

Resposta correta: C

Quando a variância populacional é conhecida e a população é normal, o teste mais adequado para a média usa a distribuição normal padronizada. Aqui, a hipótese alternativa é unilateral à direita, então o p-valor é a área de cauda acima do valor observado da estatística de teste. Nada de drama: é só ver quao extremo foi o resultado em relação a H0. Vamos ao cálculo. O desvio-padrão populacional é 2, a amostra tem n = 100, então o erro-padrão é 2/sqrt(100) = 0,2. A estatística de teste fica z = (20,3 - 20)/0,2 = 1,5. Para um teste unilateral à direita, o p-valor é P(Z >= 1,5), que vale aproximadamente 0,0668, ou seja, 0,067. Como o nível de significância é α = 0,01, comparamos 0,067 com 0,01. Como o p-valor é maior que α, você não rejeita H0. Em linguagem de prova: há evidência insuficiente para afirmar, ao nível de 1%, que a média é maior que 20. Por isso o gabarito C está correto: p-valor aproximado de 0,067 e decisão de não rejeitar H0. É o clássico caso em que a amostra sugere alguma alta, mas não o bastante para passar no filtro rígido de 1%.

Resposta correta: E

Na regressão linear pelo método dos mínimos quadrados, a ideia central é bem direta: escolher a reta que deixa os erros, chamados resíduos, o mais pequenos possível no conjunto todo. E o critério usado é justamente minimizar a soma dos quadrados desses resíduos, para evitar que sinais positivos e negativos se cancelem e para dar mais peso a erros maiores. Isso faz a afirmativa I estar correta. Mas não basta a reta “passar bonito” pelos pontos. Em geral, um bom ajuste é aquele em que as diferenças entre observado e previsto são pequenas e sem padrão sistemático, isto é, os erros ficam espalhados de forma aleatória, sem tendência. Se houver padrão, algo está faltando no modelo. Por isso a afirmativa II também está correta. A análise do gráfico dos resíduos é uma ferramenta clássica para verificar isso. Se aparecer curva, funil, agrupamento ou qualquer desenho estranho, o recado é claro: o modelo pode estar deixando de capturar parte da estrutura dos dados, gerando viés ou heterocedasticidade. Então a afirmativa III também está correta. Conclusão: as três assertivas estão corretas, o que leva ao gabarito E. Em linguagem de concurso, quando a questão fala em mínimos quadrados, ajuste bom e análise de resíduos, pense imediatamente em critério de minimização, aleatoriedade dos erros e diagnóstico visual do modelo.

Resposta correta: A

Quando a variável X segue uma distribuição binomial B(n, p), ela representa o número de sucessos em n tentativas independentes, cada uma com probabilidade p de sucesso. É um daqueles casos clássicos de Estatística Descritiva que a banca adora cobrar com cara de fórmula simples, mas exigindo atenção total aos parâmetros. Nessa distribuição, a média é dada por np. Faz sentido: se você faz n tentativas e, em cada uma, a chance de sucesso é p, o número esperado de sucessos é exatamente n vezes p. Já a variância mede a dispersão e, no caso binomial, é np(1 - p), porque o comportamento depende tanto da chance de sucesso quanto da chance de fracasso. Portanto, se a questão pede a média e a variância de X, respectivamente, você deve marcar np e np(1 - p). A alternativa A está correta porque traz exatamente essas duas expressões. É uma fórmula padrão de probabilidade, sem pegadinha conceitual: aqui não há média p nem variância p(1-p)/n, que aparecem em outros contextos e costumam confundir. Dica prática: sempre que ver binomial, pense em contagem de sucessos. Se a variável conta quantos acertos ocorreram em n testes independentes, a dupla mágica é média np e variância np(1-p).

Resposta correta: B

A amostra aleatória simples é o modelo clássico de amostragem em Estatística: você escolhe observações de modo que cada uma venha da mesma população e sem “combinar respostas” entre elas. Em linguagem prática, isso significa duas coisas importantes: independência e mesma distribuição. É o famoso pacote completo do iid, que aparece o tempo todo em prova. Na afirmativa I, a ideia está correta: os elementos da amostra aleatória simples são independentes entre si. Isso evita que o valor de uma observação “puxe” o valor da outra, como acontece em amostras dependentes ou emparelhadas. Na afirmativa II, também está correto dizer que eles são identicamente distribuídos. Cada Xi segue a mesma distribuição de probabilidade f(x), isto é, todas as observações têm o mesmo comportamento probabilístico. Já a afirmativa III está errada. Em uma amostra aleatória simples de uma distribuição f(x), cada Xi tem, sim, distribuição f(x). Então, o gabarito B está certo porque apenas I e II descrevem corretamente a amostra aleatória simples.

Resposta correta: A

Aqui a ideia central é separar dois conceitos que a banca adora misturar: eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, eles não acontecem ao mesmo tempo, então P(A ∩ B) = 0. Já na independência, a ocorrência de um não altera a probabilidade do outro, e vale P(A ∩ B) = P(A)P(B). Na afirmativa I, há um erro clássico: ser mutuamente exclusivo não faz os eventos serem independentes. Na prática, se A e B são mutuamente exclusivos e ambos têm probabilidade positiva, saber que um ocorreu derruba a chance do outro para zero, então há dependência. Só haveria compatibilidade com independência em situações triviais, como quando um dos eventos tem probabilidade zero. Na afirmativa II, com P(A)=0,5 e P(B)=0,7, se fossem independentes teríamos P(A ∩ B)=0,35. Então 0,4 não é o valor esperado pela regra da independência. Mas a frase diz que "não pode ser igual a 0,4", e isso é falso, porque nada impede que dois eventos tenham interseção igual a 0,4, desde que obedeçam aos limites probabilísticos, o que aqui acontece, já que 0,4 está entre 0 e 0,5. Na afirmativa III, também há pegadinha: eventos independentes podem ser mutuamente exclusivos somente no caso degenerado em que a interseção seja zero e, ao mesmo tempo, um deles tenha probabilidade zero. Em geral, com probabilidades positivas, as duas coisas se contradizem. Por isso, como I, II e III estão erradas, o gabarito é A.