Sumário estratégico

Matemática em concurso não premia quem coleciona fórmula solta. A banca quer leitura de enunciado, escolha de modelo, conta limpa e interpretação do resultado. Esta aula organiza o conteúdo por incidência: primeiro o que cai sempre, depois o que separa candidato mediano de candidato perigoso.

1. Raio-X dos editais

   Cebraspe, FGV e Cesgranrio: o que se repete em provas recentes
   p. 04
2. Aritmética de prova

   Números, divisibilidade, frações, razão, proporção, porcentagem e medidas
   p. 06
3. Álgebra e funções

   Equações, inequações, sistemas, função afim, quadrática, exponencial e logarítmica
   p. 23
4. Sequências, matrizes e geometria

   PA, PG, matrizes, determinantes, sistemas, geometria plana, espacial e analítica
   p. 33
5. Lógica, contagem e probabilidade

   Conjuntos, proposições, diagramas, permutação, combinação e probabilidade
   p. 48
6. Estatística, revisão e questões

   Gráficos, tabelas, medidas básicas, mapa mental, fórmulas e 10 questões comentadas
   p. 58

O que você vai dominar

Dica do Fuffu

Matemática de concurso é menos sobre genialidade e mais sobre higiene mental. Leia o comando, escolha a ferramenta, escreva as unidades e só então calcule. Parece simples porque é simples. E é por isso que tanta gente erra.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

1 O que mais cai em Matemática

Nos editais recentes, Matemática aparece em três formatos: como Matemática básica, como Raciocínio Lógico Matemático e como Matemática Financeira/Estatística em concursos bancários e fiscais. A aula cobre a base comum, com pontes para financeira e estatística, sem roubar a aula específica de Matemática Financeira que virá depois.

Alerta do Examinador

O edital pode chamar de Matemática, Raciocínio Lógico Matemático ou Lógica Quantitativa. O nome muda; o núcleo se repete: proporção, porcentagem, leitura de dados, conjuntos, contagem, probabilidade, geometria e problemas.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 01

1.1 A fila de prioridade

Se o tempo é curto, não comece por tópico bonito. Comece por tópico que mais transforma ponto. Em Matemática, a curva de retorno é bem clara: aritmética e interpretação sustentam tudo; álgebra e função ampliam o alcance; geometria e probabilidade entregam pontos com método; lógica entra como bloco transversal.

O vilão da aula

O Concurseiro Rival vai tentar vender atalho como se fosse método. Não caia. Macete sem condição de uso é só uma armadilha com sorriso bonito. Em Matemática, o caminho curto nasce de entender a estrutura do problema.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 02

2 Naturais, inteiros e sinais

O conjunto dos naturais organiza contagem; o dos inteiros permite perdas, dívidas, temperaturas negativas e deslocamentos. Em prova, a dificuldade não é saber que -3 é menor que 2. A dificuldade é traduzir variações sucessivas e sinais em operações corretas.

Regra prática: soma de números com mesmo sinal conserva o sinal; soma de sinais diferentes subtrai módulos e fica com o sinal do maior módulo. Multiplicação e divisão dependem da paridade de sinais negativos: quantidade par dá positivo; quantidade ímpar dá negativo.

2.1 Múltiplos, divisores, MDC e MMC

MDC é o maior divisor comum. Serve para repartir em partes iguais sem sobrar. MMC é o menor múltiplo comum. Serve para sincronizar ciclos, encontros periódicos e denominadores de frações. A banca adora trocar as histórias.

Dica do Raffinha

Se o problema corta uma coisa em partes iguais, pense em MDC. Se o problema marca eventos que se repetem, pense em MMC.

2.2 Fração é razão, não enfeite

Fração representa parte de um todo, quociente, razão e operador. A mesma fração 3/4 pode significar três partes de quatro, 0,75, 75% ou multiplicar algo por 0,75. Concurso cobra essa flexibilidade.

Para somar frações, use denominador comum. Para multiplicar, multiplique numerador por numerador e denominador por denominador. Para dividir, multiplique pela inversa. O erro que mais aparece é somar numeradores e denominadores diretamente: 1/2 + 1/3 não é 2/5; é 5/6.

Atalho seguro

Transforme fração em porcentagem quando o enunciado fala em desconto, aumento, pesquisa ou composição de grupo.

2.3 Reais, intervalos e reta numérica

Os reais reúnem racionais e irracionais. Racionais podem ser escritos como fração de inteiros; irracionais têm representação decimal infinita não periódica, como √2 e π. Em concurso, o tema aparece em intervalos, inequações, reta numérica e domínio de funções.

Intervalo fechado inclui extremos: [a,b]. Intervalo aberto exclui extremos: (a,b). Em inequação, cuidado ao multiplicar ou dividir por número negativo: o sentido da desigualdade se inverte. Esse detalhe sozinho derruba muita questão simples.

Alerta do Examinador

Se apareceu raiz quadrada, denominador ou logaritmo, confira domínio. Nem toda expressão algébrica aceita qualquer número real.

2.4 Potências e raízes

Potência resume multiplicação repetida. As leis básicas são: a^m · aⁿ = a^m+n; a^m / aⁿ = a^m-n; (a^m)ⁿ = a^mn. Expoente zero dá 1 para base não nula. Expoente negativo inverte a base.

Raiz é potência fracionária: √a = a^1/2. Em prova, atenção a √(a²). Nos reais, √(a²) = |a|, não simplesmente a. Se a pode ser negativo, o módulo importa.

2.5 Ordem de grandeza e estimativa

Notação científica escreve números como a · 10ⁿ, com 1 ≤ a < 10. Ela ajuda em medidas, escalas, física, química e leitura de dados públicos. Em concursos, aparece para evitar cálculo enorme.

Estimativa também é técnica. Se a alternativa pede ordem de grandeza, você não precisa calcular a última casa decimal. Arredonde com consciência e preserve a relação entre grandezas. Estimar não é chutar: é calcular só o que importa.

Dica do Jeff

Quando as alternativas estão bem afastadas, simplifique. A prova quer raciocínio, não uma planilha feita à mão.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 03

3 Razão e proporção

Razão compara duas grandezas por quociente. Proporção é igualdade entre razões. Se a/b = c/d, então a · d = b · c. Essa multiplicação cruzada é útil, mas o principal é identificar o que está sendo comparado.

Escalas, densidade, velocidade média, produtividade, mapas, receitas e divisão proporcional são aplicações de razão. A prova troca unidades para testar atenção. Se uma razão mistura horas e minutos, metros e quilômetros, reais e centavos, padronize antes.

3.1 Direta ou inversa?

Regra de três simples envolve duas grandezas. Se uma aumenta e a outra também aumenta, a relação é direta. Se uma aumenta e a outra diminui, é inversa. O erro típico é montar a conta antes de pensar na relação.

Pegadinha da Dotôra Soffya

Não existe regra de três automática. Existe relação entre grandezas. Escreva "direta" ou "inversa" antes da conta. Essa palavrinha salva ponto.

3.2 Várias grandezas no mesmo problema

Regra de três composta reúne três ou mais grandezas. O método seguro é comparar cada grandeza com a incógnita, mantendo as demais constantes. Não tente enxergar tudo de uma vez. Isole a relação.

Em problemas de produção, normalmente aparecem trabalhadores, dias, horas por dia e quantidade produzida. Mais trabalhadores aumenta produção; mais dias aumenta produção; mais horas aumenta produção. Se a incógnita for tempo para produzir quantidade fixa, algumas relações se invertem.

Método

Defina a incógnita, compare cada grandeza com ela e só depois multiplique as razões.

3.3 Porcentagem é fração de denominador 100

Porcentagem significa "por cem". 25% = 25/100 = 1/4 = 0,25. A forma decimal costuma ser mais rápida em aumentos e descontos: aumentar 18% é multiplicar por 1,18; descontar 18% é multiplicar por 0,82.

O ponto mais cobrado é a base de cálculo. Aumento de 20% seguido de desconto de 20% não volta ao valor inicial: 100 vira 120 e depois 96. Percentuais sucessivos multiplicam fatores, não somam efeitos automaticamente.

3.4 Variação percentual e comparação

Variação percentual = (valor final - valor inicial) / valor inicial · 100%. O denominador é o valor inicial. Se uma despesa saiu de 80 para 100, a alta foi 25%, porque 20/80 = 0,25. Se depois cai de 100 para 80, a queda é 20%, porque 20/100 = 0,20.

Em gráficos, a banca usa essa assimetria para confundir. Diferença absoluta não é variação percentual. Uma alta de 10 unidades pode ser enorme em base 20 e pequena em base 1000.

Alerta do Examinador

Sempre pergunte: porcentagem de quê? Sem base de cálculo, o percentual fica solto no ar.

3.5 Juros simples como crescimento linear

Juros simples têm crescimento linear: J = C · i · t e M = C · (1 + i · t). O juro de cada período é calculado sempre sobre o capital inicial. É comum em questões introdutórias e aparece também como comparação com juros compostos.

Unidade de taxa e tempo precisa conversar. Taxa mensal com tempo em anos dá erro se você não converter. Se i = 2% ao mês e t = 6 meses, use 0,02 · 6. Se t = 1 ano, converta para 12 meses ou converta taxa para período anual compatível.

3.6 Juros compostos como crescimento exponencial

Nos juros compostos, o juro de cada período incorpora-se ao capital para o período seguinte. O montante é M = C · (1 + i)^t. Esse modelo cresce mais rápido que juros simples quando há mais de um período e taxa positiva.

Esta aula traz o essencial porque porcentagem e juros aparecem em Matemática geral. A aula de Matemática Financeira aprofunda equivalência de taxas, descontos, séries, SAC, Price, VPL e TIR. Aqui, guarde a diferença estrutural: linear no simples, exponencial no composto.

Dica do Raffinha

Se a questão fala "capitalização", "ao fim de cada período" ou "juros sobre juros", pense em composto.

3.7 Sistema legal de medidas

Medidas aparecem em Cebraspe, FGV e Cesgranrio com frequência porque testam unidade e proporcionalidade. Comprimento usa metro; área usa metro quadrado; volume usa metro cúbico; massa usa grama ou quilograma; tempo usa segundo, minuto, hora, dia.

O erro mais comum é converter área como se fosse comprimento. 1 m = 100 cm, mas 1 m² = 10.000 cm². Em volume, 1 m³ = 1.000.000 cm³. A dimensão altera o fator.

3.8 Dimensão manda no fator

Quando uma figura é ampliada por fator k em seus comprimentos, sua área aumenta por k² e seu volume por k³. Essa regra é preciosa para questões de escala, maquetes, mapas, reservatórios e produtividade geométrica.

Se o lado de um quadrado dobra, a área quadruplica. Se a aresta de um cubo dobra, o volume fica oito vezes maior. A banca adora oferecer alternativa "dobrou" para quem olha só o comprimento.

Pegadinha da Dotôra Soffya

Escala linear não vira escala de área por mágica. Se mexeu em comprimento e perguntou área, eleve ao quadrado. Se perguntou volume, eleve ao cubo.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 04

4 Equação é balança

Equação do 1º grau expressa igualdade com incógnita elevada à primeira potência. Resolver é isolar a incógnita mantendo a igualdade. Tudo que você faz de um lado precisa fazer do outro.

Em problemas, o mais difícil não é resolver 2x + 5 = 17. É montar a equação correta: idade, preço, quantidade, produção, distância e tempo aparecem em linguagem natural. Nomeie a variável antes de escrever conta.

4.1 Duas incógnitas, duas informações independentes

Sistema linear reúne equações simultâneas. Em concursos gerais, os métodos mais úteis são substituição, adição e comparação. Se há duas incógnitas, normalmente você precisa de duas equações independentes.

Problemas de preços, idades, ingressos, misturas e produção frequentemente viram sistemas. Defina x e y com palavras: x = quantidade de adultos, y = quantidade de crianças. Sem isso, a resolução fica solta.

4.2 Desigualdade com intervalo

Inequação é uma desigualdade com incógnita. A solução geralmente é um intervalo, não um número único. O cuidado central é inverter o sinal ao multiplicar ou dividir por número negativo.

Em prova, inequação aparece como condição: lucro positivo, quantidade mínima, orçamento máximo, domínio de função ou região permitida. Depois de resolver, interprete se o resultado faz sentido no contexto. Quantidade de pessoas, por exemplo, precisa ser inteira e não negativa.

Alerta do Examinador

Multiplicou por -1? Inverta o sinal. Esse microdetalhe decide questão inteira.

4.3 Fatoração e produtos notáveis

Produtos notáveis aceleram álgebra: (a+b)² = a² + 2ab + b²; (a-b)² = a² - 2ab + b²; (a+b)(a-b) = a² - b². Eles aparecem em simplificação, equações, geometria algébrica e funções quadráticas.

A fatoração anda no sentido inverso. Se x² - 9 aparece, pense em diferença de quadrados: (x-3)(x+3). Se há fator comum, coloque-o em evidência antes de tentar fórmula mais sofisticada.

Conta limpa

Fatorar antes de desenvolver costuma economizar tempo. Em prova, expressão menor é menos chance de erro.

4.4 Domínio, imagem e lei de formação

Função associa cada elemento do domínio a exatamente um elemento da imagem. Em concursos, função aparece como regra de cálculo, gráfico, tabela, sequência ou relação econômica simples. A pergunta pode ser "quanto vale f(3)" ou "qual gráfico representa a situação".

Domínio é o conjunto de entradas permitidas. Imagem é o conjunto de saídas efetivamente produzidas. Se a função tem denominador, ele não pode ser zero. Se tem raiz quadrada real, o radicando precisa ser não negativo. Se tem logaritmo, o argumento precisa ser positivo.

Dica do Jeff

Antes de derivar regra mental, pergunte: posso colocar esse valor na função? Domínio vem antes de resultado.

4.5 f(x) = ax + b

Função afim tem gráfico em reta. O coeficiente a é taxa de variação ou inclinação; o coeficiente b é o valor inicial, isto é, onde a reta corta o eixo y. Se a > 0, a função cresce; se a < 0, decresce.

Problemas de tarifa fixa mais valor por unidade, salário base mais comissão, custo inicial mais custo variável e distância com velocidade constante são modelos de função afim.

4.6 Parábola, raízes e vértice

Função quadrática tem forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico é parábola. Se a > 0, a concavidade é para cima; se a < 0, para baixo. As raízes são os valores de x que tornam f(x)=0.

O discriminante Δ = b² - 4ac indica o número de raízes reais: Δ > 0, duas raízes; Δ = 0, uma raiz real dupla; Δ < 0, nenhuma raiz real. O vértice ajuda em máximo ou mínimo.

4.7 Crescimento multiplicativo e inversão

Função exponencial modela crescimento ou decaimento multiplicativo: população, juros compostos, depreciação, meia-vida, índices. A base positiva diferente de 1 define crescimento se for maior que 1 e decaimento se estiver entre 0 e 1.

Logaritmo é o inverso da exponencial. log_a(b) pergunta: a elevado a que expoente dá b? As condições são base positiva, base diferente de 1 e argumento positivo.

Pegadinha da Dotôra Soffya

Logaritmo de número negativo não existe nos reais. E base 1 também não serve. Domínio não é detalhe, é porta de entrada.

4.8 Ler gráfico antes de calcular

Gráfico é linguagem. Interceptos indicam zeros ou valores iniciais; inclinação indica crescimento ou decrescimento; concavidade indica aceleração; ponto máximo ou mínimo indica extremo. Muitas questões podem ser resolvidas sem fórmula, apenas lendo e interpretando.

Quando há escala nos eixos, confira unidade. Um ponto visualmente alto pode representar pouco se o eixo estiver comprimido. Em gráfico de barras, compare alturas; em linha, compare tendência; em dispersão, observe associação.

Antes da conta

Leia título, eixos, unidade, legenda e escala. O gráfico entrega pistas que a fórmula não mostra sozinha.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 05

5 Padrões e leis de formação

Sequência é lista ordenada de termos. A lei pode ser explícita, quando dá a_n em função de n, ou recursiva, quando usa termos anteriores. Editais de FGV e Cesgranrio mencionam as duas formas.

Na prova, procure primeiro diferença entre termos, depois razão entre termos, depois alternância, quadrados, cubos, números primos ou padrão posicional. Não force PA ou PG quando o padrão é outro.

Dica do Raffinha

Escreva as diferenças entre termos. Se a diferença é constante, PA. Se a razão é constante, PG. Se nada fecha, procure alternância.

5.1 PA: soma constante

Progressão aritmética tem diferença constante entre termos consecutivos, chamada razão r. O termo geral é a_n = a₁ + (n-1)r. A soma dos n primeiros termos é S_n = n(a₁ + a_n)/2.

PA modela crescimento linear: parcelas que aumentam de mesmo valor, numeração, assentos, padrões com acréscimo fixo. Se a diferença muda, não é PA.

5.2 PG: multiplicação constante

Progressão geométrica tem razão q constante entre termos consecutivos: a_n = a₁ · q^n-1. A soma finita, para q ≠ 1, é S_n = a₁(qⁿ-1)/(q-1).

PG modela crescimento multiplicativo: juros compostos, duplicação, escalas, depreciação percentual, epidemias em modelo simplificado. Se a questão fala em "dobra", "metade", "triplica", pense em PG.

Alerta do Examinador

Em PA você soma a razão. Em PG você multiplica pela razão. Trocar isso muda completamente o crescimento.

5.3 Matrizes como organização de dados

Matriz é tabela retangular de elementos organizada em linhas e colunas. A ordem m × n indica m linhas e n colunas. Soma de matrizes exige mesma ordem. Produto por escalar multiplica todos os elementos. Produto entre matrizes exige que o número de colunas da primeira seja igual ao número de linhas da segunda.

Em concursos, matrizes aparecem em problemas de produção, custos, tabelas, transformações simples e raciocínio matricial. Não trate matriz como objeto abstrato demais: muitas vezes é só uma tabela com regra de operação.

5.4 Determinante e invertibilidade

Determinante é número associado a matriz quadrada. Para matriz 2 × 2, det [[a,b],[c,d]] = ad - bc. Se o determinante é zero, a matriz não é inversível e o sistema associado pode não ter solução única.

Em concursos de nível médio, o foco costuma ser cálculo de determinante 2 × 2 ou 3 × 3 e uso em sistemas. Em nível mais técnico, determinantese matrizes entram como linguagem de álgebra linear.

Dica do Fuffu

Antes de calcular determinante, confira se a matriz é quadrada. Determinante não é definido para matriz retangular.

5.5 Sistemas lineares em forma matricial

Um sistema linear pode ser escrito como A·x = b. A matriz A guarda coeficientes; o vetor x guarda incógnitas; o vetor b guarda termos independentes. Essa organização ajuda a enxergar dependência entre equações e usar determinantes.

Para duas equações e duas incógnitas, determinante diferente de zero indica solução única. Determinante zero exige análise: pode haver infinitas soluções ou nenhuma, conforme compatibilidade.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 06

6 Geometria plana começa no desenho

Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Ângulos adjacentes sobre uma reta somam 180°. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°. A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é (n-2)·180°.

Em geometria, desenhe. Mesmo uma figura simples ajuda a evitar troca entre ângulo interno, externo, complementar e suplementar. Questão sem figura muitas vezes precisa de uma figura sua.

6.1 Triângulos, Pitágoras e classificação

Triângulos podem ser classificados por lados e por ângulos. O teorema de Pitágoras vale em triângulo retângulo: a² = b² + c², sendo a a hipotenusa. Triplas pitagóricas comuns economizam tempo: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17.

A desigualdade triangular diz que cada lado é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença entre eles. Sem isso, você pode aceitar triângulo impossível.

Alerta do Examinador

Pitágoras só entra em triângulo retângulo. Se a questão não deu ângulo de 90° nem condição equivalente, cuidado.

6.2 Semelhança, Tales e escala

Triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes iguais e lados proporcionais. O Teorema de Tales aparece quando retas paralelas cortam transversais, produzindo segmentos proporcionais. É a base de muitos problemas de sombra, mapas, maquetes e ampliação.

Se a razão de semelhança nos comprimentos é k, a razão entre áreas é k². Esse salto é cobrado com frequência.

Escala

Comprimento acompanha k; área acompanha k²; volume acompanha k³.

6.3 Perímetro e área

Perímetro mede contorno. Área mede superfície. Retângulo: A = base · altura. Triângulo: A = base · altura / 2. Paralelogramo: A = base · altura. Trapézio: A = (B+b)h/2. Losango: A = Dd/2.

Questões de área frequentemente exigem decompor figura em partes conhecidas. Se a figura é irregular, procure retângulos, triângulos, trapézios ou diferença de áreas.

6.4 Comprimento, área e setor circular

Circunferência é a linha; círculo é a região interna. Comprimento da circunferência: C = 2πr. Área do círculo: A = πr². Diâmetro é 2r.

Setor circular é uma fatia proporcional ao ângulo central. Se o ângulo é θ em graus, a área do setor é θ/360 · πr². O comprimento do arco é θ/360 · 2πr.

Pegadinha da Dotôra Soffya

Não misture circunferência com círculo. Uma coisa mede comprimento; a outra mede área.

6.5 Prismas, cilindros e volume

Volume de prisma é área da base vezes altura. Cilindro segue a mesma lógica: V = πr²h. Área total depende das faces laterais e bases; em cilindro, área lateral é 2πrh e área total é 2πr² + 2πrh.

Em problemas de reservatório, piscina e caixa, converta unidades. 1 m³ = 1000 litros. Uma piscina de 20 m³ tem 20.000 litros, não 2.000.

6.6 Pirâmides, cones e esferas

Pirâmide e cone têm volume igual a um terço do produto área da base por altura. Cone: V = πr²h/3. Esfera: V = 4πr³/3 e área = 4πr².

Se uma questão compara cone e cilindro de mesma base e altura, o cone tem um terço do volume do cilindro. Esse é um atalho conceitual, não decoreba solta.

Dica do Raffinha

Quando a figura termina em ponta, desconfie do fator 1/3. Pirâmide e cone são "um terço" dos respectivos sólidos prismáticos de mesma base e altura.

6.7 Coordenadas e distância

No plano cartesiano, um ponto é par ordenado (x,y). A distância entre A(x1,y1) e B(x2,y2) é √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]. A fórmula é Pitágoras aplicado às diferenças horizontal e vertical.

Ponto médio entre A e B é ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Em geometria analítica de concurso, essas duas fórmulas resolvem muita coisa.

6.8 Inclinação e equação da reta

A reta pode ser escrita como y = ax + b. O coeficiente a é a inclinação, igual à variação de y dividida pela variação de x entre dois pontos. O b é onde a reta corta o eixo y.

Retas paralelas têm mesmo coeficiente angular. Retas perpendiculares, quando não verticais, têm coeficientes cujo produto é -1. Esse ponto aparece em questões de geometria e função afim.

Alerta do Examinador

Reta vertical não tem forma y = ax + b. Ela é x = constante. Não force coeficiente angular onde ele não existe.

6.9 Seno, cosseno e tangente

Em triângulo retângulo, seno = cateto oposto / hipotenusa; cosseno = cateto adjacente / hipotenusa; tangente = cateto oposto / cateto adjacente. A relação fundamental é sen²x + cos²x = 1.

Ângulos notáveis aparecem com frequência: 30°, 45° e 60°. Em problemas de altura e distância, desenhe o triângulo, marque o ângulo, identifique cateto oposto e adjacente e só então escolha a razão trigonométrica.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 07

7 Conjuntos e diagramas

Conjunto é coleção de elementos. União reúne elementos de A ou B. Interseção reúne elementos comuns a A e B. Diferença A - B reúne elementos de A que não estão em B. Complementar depende do universo considerado.

Em problemas com dois conjuntos, use n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). A subtração da interseção evita contar duas vezes quem está nos dois conjuntos.

Dica do Fuffu

Em questão com "pelo menos um", pense em união. Em questão com "ambos", pense em interseção. Em questão com "nenhum", pense no complementar.

7.1 Proposições e conectivos

Proposição é sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa. Conectivos principais: negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional. Cebraspe cobra tabelas-verdade, equivalências e Leis de De Morgan.

7.2 De Morgan e contrapositiva

As Leis de De Morgan são recorrentes: negar "p e q" vira "não p ou não q"; negar "p ou q" vira "não p e não q". A condicional p → q é equivalente a ¬p ou q e também à contrapositiva ¬q → ¬p.

Em linguagem de prova, "se estudo, então passo" só é falsa se eu estudo e não passo. Ela não afirma que estudar é o único caminho, nem que passar prova que estudei. A banca adora essa nuance.

Pegadinha do Concurseiro Rival

O vilão vai tentar ler condicional como promessa de ida e volta. Não caia. "Se p, então q" não é o mesmo que "se q, então p".

7.3 Todo, algum e nenhum

Quantificadores transformam frase em estrutura lógica. "Todo A é B" significa A contido em B. "Algum A é B" indica interseção não vazia. "Nenhum A é B" indica interseção vazia. "Algum A não é B" indica que existe elemento em A fora de B.

Diagramas lógicos ajudam a visualizar relações de inclusão e exclusão. Em Cebraspe e FGV, esse bloco conversa com argumentos válidos, silogismos e falácias.

7.4 Multiplicar escolhas independentes

Se uma decisão pode ocorrer de m modos e outra de n modos, a sequência de decisões pode ocorrer de m · n modos, desde que as escolhas sejam combinadas em etapas. Esse é o princípio fundamental da contagem.

Antes de usar fórmula, pergunte: há etapas? A ordem importa? Pode repetir? Há restrição? A maior parte das questões de contagem se resolve respondendo a essas quatro perguntas.

Roteiro

Etapas multiplicam. Alternativas somam. Restrições devem ser tratadas antes ou por complemento.

7.5 Ordem importa?

Permutação ordena todos os elementos: n!. Arranjo escolhe e ordena parte dos elementos: A(n,p) = n!/(n-p)!. Combinação escolhe sem considerar ordem: C(n,p) = n!/[p!(n-p)!].

O divisor p! da combinação existe porque as ordens internas de um mesmo grupo foram contadas várias vezes. Se a comissão com Ana e Bruno é a mesma que Bruno e Ana, a ordem não importa: combinação.

Alerta do Examinador

A pergunta decisiva é "trocar a ordem muda o resultado?". Se muda, arranjo ou permutação. Se não muda, combinação.

7.6 Evento sobre espaço amostral

Em casos equiprováveis, probabilidade = casos favoráveis / casos possíveis. O espaço amostral precisa estar correto. Em lançamento de dois dados, há 36 pares ordenados possíveis, não 12 somas possíveis igualmente prováveis.

Probabilidade do evento complementar é 1 - P(A). Muitas questões ficam mais fáceis pelo complemento, especialmente quando "pelo menos um" aparece.

7.7 Quando a informação muda o universo

Probabilidade condicional é P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B). Ela aparece quando a questão diz "sabendo que", "dado que", "entre os que", "considerando apenas". O universo deixa de ser total e passa a ser B.

Independência significa P(A ∩ B) = P(A)·P(B). Não confunda eventos independentes com eventos mutuamente exclusivos. Se dois eventos não podem ocorrer juntos, eles não são independentes, salvo caso trivial de probabilidade zero.

Pegadinha da Dotôra Soffya

"Sabendo que" é sirene. A partir dali, o denominador muda. Se você usa o universo antigo, erra com elegância.

Prof. Affonsinho explica, Módulo 08

8 Média, mediana e moda

Média aritmética é soma dos valores dividida pela quantidade. Mediana é o valor central após ordenar os dados. Moda é o valor mais frequente. Em dados assimétricos, a média pode ser puxada por extremos; a mediana costuma representar melhor o centro resistente.

Em concursos bancários e administrativos, gráficos, tabelas e medidas descritivas aparecem como leitura de informação. O cálculo é simples; o perigo é interpretar além dos dados.

8.1 Amplitude, variância e desvio padrão

Dispersão mede espalhamento. Amplitude é máximo menos mínimo. Variância é média dos quadrados dos desvios em relação à média, conforme convenção populacional ou amostral. Desvio padrão é raiz da variância e volta à unidade original dos dados.

Coeficiente de variação compara dispersão relativa: CV = desvio padrão / média. É útil quando as médias são diferentes ou as unidades dificultam comparação direta.

Dica do Raffinha

Se a pergunta fala em regularidade, homogeneidade ou risco, olhe dispersão. Média sozinha pode mentir por omissão.

8.2 Leitura de dados em prova

Gráfico de barras compara categorias. Gráfico de linhas mostra evolução temporal. Setores mostram composição percentual de um todo. Histograma mostra distribuição de frequências por classes. Tabela traz dados brutos ou organizados.

Confira título, fonte, unidade, escala, legenda e período. Cuidado com eixos truncados, percentuais acumulados, crescimento absoluto versus relativo e categorias com bases diferentes.

Alerta do Examinador

A questão só permite concluir o que os dados sustentam. Interpretação boa não inventa causalidade onde só há associação.

8.3 Traduzir texto em operação

Problemas aritméticos misturam leitura, unidade e estratégia. Palavras como "a mais", "a menos", "dobro", "metade", "restante", "total", "cada", "por" e "em média" são operadores escondidos.

Monte uma tabela pequena quando houver várias informações. Em problema de idade, use linha para passado, presente e futuro. Em problema de preço, separe quantidade, valor unitário e total. Organização vale ponto.

Método universal

Defina incógnita, escreva unidade, monte relação, resolva e teste se a resposta faz sentido.

8.4 Tabelas, linhas e colunas como raciocínio

Quando o edital fala em problemas matriciais, nem sempre quer álgebra linear pesada. Muitas vezes quer organizar dados em linhas e colunas: pessoas versus tarefas, produtos versus preços, cidades versus rotas, competências versus dias.

O segredo é nomear linhas e colunas com clareza. Se você perde o significado da linha, a matriz vira desenho. Se conserva o significado, cada operação tem interpretação.

Dica do Fuffu

Em questão com muita informação, uma matriz simples pode substituir dez frases confusas. A organização já resolve metade.

8.5 Padrões, ciclos e calendário

Raciocínio sequencial aparece em padrões de letras, números, figuras, calendários e ciclos. Em ciclo, use resto da divisão. Se algo se repete a cada 7 dias, o dia procurado depende do resto por 7.

Em padrões de figuras, observe quantidade de elementos, rotação, alternância de cor, simetria e posição. Não use fórmula antes de entender a regra visual.

8.6 Dobraduras, vistas e orientação

Raciocínio espacial envolve posição, rotação, simetria, vistas, planificações e orientação. Em provas gerais, aparece de forma leve, mas pode surpreender. Cubos planificados, mapas simples e deslocamentos em grade são os formatos mais comuns.

Use marcações. Em cubo, faces opostas não se tocam na planificação. Em deslocamento, mantenha direção e sentido. Em rotação, escolha um ponto de referência para não girar a figura mentalmente inteira.

Alerta do Examinador

Não confie só na intuição espacial. Faça marca, seta, eixo e ponto de referência. A banca desenha para confundir orientação.

8.7 Como ganhar tempo sem perder rigor

Em múltipla escolha, estimativa elimina alternativas impossíveis. Se a resposta exata exige conta longa, aproxime valores e veja a ordem de grandeza. Mas estimativa só é segura quando as alternativas estão afastadas o suficiente.

Outra técnica é testar alternativas. Em equações e problemas de idade, substituir alternativa pode ser mais rápido que montar sistema completo. Só cuide para não transformar isso em tentativa cega.

Dica do Jeff

Conta bonita é conta que chega. Se testar alternativa é mais limpo e seguro, use. Matemática de prova também é gestão de tempo.

8.8 Onde candidato bom perde ponto

Os erros mais caros são previsíveis: não converter unidade, somar percentuais sucessivos, usar combinação quando ordem importa, inverter relação direta e inversa, aplicar Pitágoras sem triângulo retângulo, esquecer domínio, interpretar gráfico sem olhar escala e arredondar cedo demais.

Crie um ritual: unidade, base de cálculo, relação entre grandezas, condição de existência e pergunta final. Antes de marcar, volte ao comando. Muita resposta errada calcula uma coisa verdadeira que não foi perguntada.

Pegadinha do Concurseiro Rival

O vilão gosta de resposta quase certa: número correto para pergunta errada. Leia o "assinale" até o fim.

8.9 Checklist antes de marcar

Seu Teoffilo fecha a conta

Matemática não perdoa pressa sem método. A boa notícia é que método é treinável. Você não precisa ser brilhante; precisa ser consistente.

Mapa mental

Fórmulas que pagam aluguel na prova

Alerta do Examinador

Fórmula sem condição de uso é perigosa. Sempre saiba quando ela entra e quando ela não entra.

Pontos que derrubam candidato bom

Fontes-base da aula

Editais recentes Cebraspe PF/PF Administrativo/TCE-RS; editais FGV DPE-RO, AMAZUL, SEAP e CPRM; editais e provas Cesgranrio em concursos bancários; conteúdo recorrente de números, álgebra, geometria, lógica, contagem, probabilidade, gráficos e tabelas.